全員が同時にジャンプしたら、何が起こる？ 体育館から地球まで計算してみた｜もしもを計算してみた #03

全員が同時にジャンプしたら、何が起こるでしょう。体育館の1,000人から、スタジアム、日本中、そして地球の約83億人まで、人数を増やしながら実際に計算しました。

30秒で分かる結果

地球は動きます。全人類を1か所に集め、全員62kg・重心が30cm上がるジャンプをした理想モデルでは、地球の重心のずれは頂点で約2.6×10⁻¹⁴m。水素原子の大きさの目安の約4,000分の1です。

力・時刻・距離は違う量です。何をはかった数字か、条件と式から追ってみましょう。

まず、どんなジャンプをする？

重心とは、体の重さの中心です。「30cmのジャンプ」は足先の高さではなく、立った時より重心が30cm上がることにします。

しゃがむところから立ち直るまでを計算します。踏み切りで上がる分を先にしゃがみ、離れる時の重心を立った時の高さにそろえます。空中の時間は約0.5秒です。

体育館：床の体重計は何人分になる？

架空の体育館で1,000人が同時に跳びます。床の力は「62kgの人が何人立っている時に相当するか」で表します。

床を押す力の式

上向きを正として、1人の重心の加速度を a とすると、接地中の力 F は次の式です。

F = m(g + a)

加速度は速度の変わり方です。立っていれば a = 0、F = mg。上へ加速する踏み切りや、落下を止める着地では、体重以上の力がかかります。空中では接触がなく、床の力はゼロです。

踏み切りと着地の加速度は、なめらかな山が1つある「半正弦」の形です。離れる時の速さを v₀ とすると、

v₀ = √(2gh)加速度の最大値 = πv₀ ÷ (2τ)Fの最大値 ÷ mg = 1 + π√(2gh) ÷ (2gτ)

πは円周率、√は平方根です。h = 0.30m、τ = 0.22秒を入れると、最大値は 2.7658倍、約2.8倍。1,000人が同時なら、最大で2,765.8人分、丸めて約2,800人分です。

着地に時間をかけると？

高さを同じにして、着地で止まる時間だけを変えた結果です。

時間をかけて止まれば、着地の山は低くなります。表は着地だけの比較です。踏み切りの時間を変えなければ、そちらの山は残ります。

スタジアム：平均0.1秒ずれるだけで？

東京ドームの公表する収容人数から、5万5,000人としました。建物は架空です。体重・高さ・接地時間は体育館と同じです。

1人の力の時間変化を F₁(t)、各人の跳び始めのずれを δᵢ とすると、合計は次の式になります。

F合計(t) = Σ F₁(t − δᵢ)

Σは「全員分を足す」記号です。各人の力を時間をずらして足し、合計の最大値を探します。同時なら山がぴったり重なります。

ずれは、合図の前後に釣り鐘形に散らばる「正規分布」とします。散らばりの幅を表す標準偏差は0.12秒。ずれの大きさの平均は0.0956秒、約0.1秒でした。実際の観客を測った値ではなく、設定です。

ぴったりそろった時の最大は152,118人分。ずれを付けた計算では93,940人分でした。乱数を変えた3回の計算の真ん中の比が0.6175、つまりぴったりそろった時の約6割です。

減ったのは「いちばん強い瞬間の合計の力」です。全員の体重が6割になった、という意味ではありません。

本物のライブでは、地面はどう揺れた？

2023年7月22日、シアトルのルーメン・フィールドでのテイラー・スウィフトさんの公演です。観客は論文の推定で約7万2,000人。会場の西約150mの観測点UW.KDKの上下の加速度記録を使います。

約27倍は、何を比べた数字？

観客の動きに関係する帯域として論文が扱った1〜8Hzを取り出します。Hzは1秒あたりの繰り返しの回数です。

加速度を「二乗して平均し、平方根を取る」RMSという値で、1秒ごとの強さにまとめます。

RMS = √(加速度²の平均)揺れの強さの比 = サビ付近の最大RMS ÷ 直前の静かな区間のRMS

「Love Story」のサビ付近では、静かな区間の0.20mm/s²から最大5.37mm/s²へ。処理結果の比は26.9倍、約27倍でした。これは加速度の強さの比較です。

揺れは1秒に1.975回。曲の119拍/分は1秒に1.983拍で、約2回というリズムが一致しました。選んで調べた8曲すべてで、同様の一致を確かめています。

地面が動いた距離は約0.03mm

同じ帯域の加速度を時間に沿って2回積分し、速度、移動距離へと換算しました。コンサートの間の最大は28.4µm、約0.03mmです。µmはマイクロメートルで、mmより細かな長さの単位です。

タイの大人の研究による髪の太さの目安、約0.08mmの約3分の1です。髪の太さは人や地域で違います。

約0.03mmはコンサート全体での最大です。何度も跳ぶライブは、1回跳ぶスタジアムのモデルと条件が違います。この記録で「約6割」を検証したわけではありません。

日本中：同時に跳んでも、同時に届く？

柏市のサッカー場では、サポーターの跳ぶリズムに対応する揺れが約600m先で観測されています。影響は地面を伝わります。

では、日本中が正午に跳び、東京駅で待ったらどうなるでしょう。計算するのは、最初に届くP波の時刻です。

距離から、モデルの到達時刻を調べる

受け取り場所は東京駅（北緯35.6818度・東経139.7650度）。地球の平均半径6,371kmで地表の距離を求め、標準的な地下構造のモデルiasp91の走時表を引きます。走時表は「距離ごとの所要時間の表」で、ObsPyのTauPで計算したものです。

届く時刻 = 正午 + Tₚ(東京駅からの距離)

Tₚは、その距離から最初のP波が届くまでの時間です。P波は固い岩盤付近では秒速5〜7kmほどですが、深さで速さが変わります。表の時刻を、一定の秒速7kmで割る計算に置き換えてはいません。

最初から最後までは4分以上、多くはもっと早い

人の分布はWorldPopの2020年の人口の升目を使い、総数を日本の2026年9月の概算値に合わせました。各升目の到達時刻を求め、ある時刻までに届いた升目の人数を足して、全体の人数で割ります。

最初の波が届いた人の割合は、60秒で70.3%、120秒で95.0%。最も遅い升目では約256秒です。つまり、最初から最後まで4分以上ですが、1分以内に約7割、2分以内に約95%が届きます。

東京の人のジャンプの動作は約2秒で終わります。大阪から最初の波が届くころには、すでに着地しています。跳ぶ揺れの大きな部分はP波よりゆっくり伝わるため、さらに遅れて届きます。その時刻や、日本中の揺れを合わせた大きさは、この回では求めていません。

地球：83億人のジャンプを原子の物差しで

今度は、人を除いた地球の重心の動きです。ライブで見た地面の上下動とは、対象が違います。

人と地球の、重さの中心を考える

全員を集め、同じ向きに跳ぶとします。人と地球が押し合う力では、合わせた重心は動きません。スケートで押し合う時、軽い方が大きく、重い方が少し動くのと同じです。

地球に対して人の重心が y だけ上がる時、地球の重心のずれの大きさ d は、次の式です。向きは人の動きと反対です。

d = N × m × y ÷ M

Mは人も含む全体の質量です。全人類の質量N × mは約5.146×10¹¹kg。地球はその約12兆倍も重いため、ずれは人の上がる高さのごく小さな割合になります。

頂点の y = 0.30mを入れると、

d = 8,300,678,396 × 62 × 0.30 ÷ (5.9722×10²⁴)d ≈ 2.585×10⁻¹⁴m ≈ 2.6×10⁻¹⁴m

水素原子の大きさの目安には、ボーア半径の2倍、約1.06×10⁻¹⁰mを使います。この長さと比べると、地球のずれは約4,000分の1。地球は動きますが、原子1個分には届きません。

各地で跳ぶと、約4割が打ち消し合う

今いる場所で跳べば、地球の丸みに沿って外向きに、場所ごとに違う向きに跳びます。

GHSLの2025年の人口の升目を使い、外向きの矢印を人数に応じて足した結果、全員が同じ向きの場合の0.6103が残りました。人口が均等には分布していないため、完全には打ち消し合いません。

地球のずれは、集めた場合にこの割合を掛けた約1.6×10⁻¹⁴m。約4割が打ち消し合うのは「各地で跳ぶ」場合です。集めて跳ぶ約2.6×10⁻¹⁴mには、その打ち消しを掛けていません。

この理想モデルでは、全員が着地して立った姿勢に戻ると y = 0 になり、地球の重心のずれもゼロに戻ります。

現実とはどこが違う？

体育館・スタジアムは全員が同じジャンプをする仮定です。約2.8倍は高さ・接地時間・加速度の形で変わります。床や建物がどれだけ揺れるか、安全かどうかを判定する計算ではありません。

シアトルの値は、上下の記録の1〜8Hzに限ってタメラボが処理した結果です。観測所の公表値ではなく、揺れのすべてが観客だけに由来するとも断定していません。

日本の到達時刻は標準モデルによる値で、日本各地の詳しい地下構造は入れていません。人口分布も2020年の資料です。波の弱まり方や重なり方、震度は計算していません。

地球では、全員62kg・同じ高さという大きめの見積もりを使います。全人類を1か所に集めるのも、実際にはできない仮定です。重心の式から分かるのは全体の位置のずれで、地面の各点がその分だけ動くという意味ではありません。

よくある問い

全員が同時にジャンプしたら、地球は動きますか？

動きます。この回の理想モデルでは、約83億人を集めて全員62kg・重心30cmのジャンプをすると、頂点で地球の重心が約2.6×10⁻¹⁴mずれます。水素原子の大きさの目安の約4,000分の1です。

同時ジャンプで大地震になるか、分かりますか？

この計算では分かりません。床の力、最初の波の到達時刻、地球の重心のずれを求めました。日本中の揺れの大きさや震度は求めていないため、地震の規模は言えません。

1人が跳ぶだけでも地球は動きますか？

同じ重心の式で、62kgの1人が30cm跳ぶ場合は約3.1×10⁻²⁴mです。人数を増やすとずれは大きくなりますが、全人類を合わせても地球との質量の差は約12兆倍あります。

スマホで分かる高さは、足先の高さですか？

空中の時間から推定する、地面を離れてからの重心の上がりの目安です。離れる時と着く時が同じ姿勢だと仮定します。Webではその値を、モデルの「立った時からの重心の上がり」として使う近似をしています。

Webで条件を変えて試す

このページの上にある「試す」の実験台で、まず「ボタンで跳ぶ（30cm）」を押してみてください。対応するスマホでは「スマホで計る」も選べます。空中の時間を t 秒とすると、高さの目安は h = gt² ÷ 8。約0.5秒なら約31cmです。

体育館では着地の時間を、スタジアムでは跳び始めのずれを変えられます。日本では地図をタップして受け取り場所を移し、地球では「その場で跳ぶ」と「1か所に集める」を比べられます。

1つの条件だけを変えてみましょう。着地の山が下がると、踏み切りの山はどうなるか。向きをそろえると、地球のずれはどれだけ増えるか。式と実験台の数字を、自分のジャンプで見比べられます。