頭35、足94本。うさぎは何びき？つるかめ算（小4・上級）｜算数ひらめき劇場 #02

算数ひらめき劇場｜小学4年生・上級｜保護者・先生向け

つるかめ算を、子どもとどこから考えればよいでしょうか。このページでは、予想して試すところから、足を積み木にした「面積図」を組み立て、答えを確かめるまでを順に説明します。

解答を含みます。子どもと挑むときは、まず問題だけを見せ、断りのある答えの節へ進む前に考える時間を取ってください。 印刷した紙でも、静止図と説明だけで追えます。

問題：頭と足の数から、うさぎを探す

かごの中に、きじとうさぎがいます。きじの足は2本、うさぎの足は4本です。頭は全部で35、足は全部で94本です。うさぎは何びきいるでしょうか。

頭が35ということは、動物が合わせて35ひきいるということです。紙に絵や表をかいて、まず自分のやり方で試してみましょう。

これは、1500年以上前の中国の算数の本『孫子算経（そんしさんけい）』にある問題です。原題はきじとうさぎ両方の数を尋ねています。この回では同じ動物・同じ数を使い、うさぎの数を問いの中心にしています。

最初の一手：予想から面積図へ

半分くらいずつ入っていると予想して、足を数えるのは自然な始め方です。

変えた動物の分だけ足を直していく方法でも、答えに近づけます。ここでは「どれだけ直せばよいか」を図で見えるようにします。その入口が、どの動物にも共通する足を先に置くことです。

小さいかごで、足を積み木にする

まず、内訳が見えている、きじ3羽・うさぎ2ひきのかごを考えます。足は全部で14本です。

足1本を積み木1こにすると、きじの列は2こ、うさぎの列は4こになります。横の1列が動物1ひき、縦の高さがその動物の足の数です。

列ごとうさぎを右へまとめます。並べ替えても、積み木の合計は変わりません。

下の2段は全員に共通する分で、2×5＝10こ。その上の4こは、うさぎの所にだけあります。うさぎはきじより2本多いので、上には1列につき2こずつ必要です。はみ出した所の横幅が、うさぎの数を表すと読めます。

動かして見る：小さいかごの足を積み木にする

つるかめ算を面積図で解く手順

全員に共通する分で、下の長方形を作る

大きいかごでは、どれがうさぎかはまだ分かりません。それでも、どの動物にも少なくとも2本の足があります。35列を用意し、各列に2こずつ置くことはできます。

下の長方形は2×35＝70こ。「全部きじだったら」と考えた足の数です。実際のかごを変えるのではなく、すべての動物に共通する分だけを先に数えています。

本当の合計と比べ、残りの置き場所を考える

足は94本なので、残りは94−70＝24こです。

この24こはどこに置けるでしょう。きじの足は下の2こで数え終わっています。残りを置けるのは、足が多いうさぎの列だけです。

はみ出した所の高さを決める

うさぎの足は4本ですが、下の長方形ですでに2本分を置いています。上に足すのは4−2＝2こずつです。残りの山を2こずつ積むと何列できるか、そしてその列が何の数かを考えてから、次へ進んでください。

答えと確かめ（答えまで書いてあります）

24こを2こずつに分けると、24÷2＝12列です。

はみ出しているのはうさぎの列なので、うさぎは12ひきです。きじは残りの35−12＝23羽です。「全部きじ」から始めても、最後のわり算で求めたのは、足を追加したうさぎの数です。

確かめは、もとの条件を両方使います。頭は23＋12＝35。足は23×2＝46、12×4＝48、46＋48＝94で合います。逆に、きじを12羽とすると足が116本になり、条件に合いません。

動かして見る：下の長方形から、残りを積むまで

『孫子算経』の答えも、きじ23・うさぎ12です。ここに示すページは、1934年に日本で作られた写しです。

別の見方：予想を直す・全部うさぎから考える（答えを含みます）

最初の予想は、うさぎ17ひきで10本多い状態でした。うさぎ1ひきをきじ1羽に替えると、頭の数は同じで足が2本減ります。10÷2＝5ひき替えれば、17−5＝12ひきになります。予想を直す方法と面積図は、同じ「1ひきあたりの差」を見ています。

全部うさぎだと考えても解けます。足は4×35＝140本で、実際より140−94＝46本多くなります。図では、きじの列に2こずつ欠けた形です。46÷2＝23で、今度求めたのはきじの数。わり算の後に「この横幅は何の数か」と読むことが大切です。

応用：値段の問題にも面積図を使う

りんごは1こ120円、みかんは1こ80円です。合わせて15こ買い、代金は1520円でした。りんごは何こ買ったでしょうか。 このページの買い物の値段は、練習のための作り話です。

共通する代金と、値段の差を分ける

10円玉1枚を図の1こ分にすると、みかんは8枚、りんごは12枚の高さになります。横の1列は果物1こです。

全部みかんなら80×15＝1200円。まず、どの列にも80円分を置きます。本当の代金との差は1520−1200＝320円、10円玉32枚分です。

ここで「上に足す高さは何円分？」と尋ねます。どの果物にも下の80円分があるので、りんごの列に足すのは120−80＝40円分、10円玉4枚分です。

買い物問題の答えと確かめ（答えまで書いてあります）

残りを4枚ずつ積むと32÷4＝8列。円で計算しても320÷40＝8です。はみ出すのは高いりんごの列なので、りんご8こ、みかん7こです。

個数は8＋7＝15。代金は120×8＝960、80×7＝560、960＋560＝1520円で合います。320を120でわるとわりきれません。80でわると4になりますが、りんご4こ・みかん11こでは1360円です。計算の結果だけで決めず、図の高さともとの条件を確かめます。

動かして見る：10円玉で共通する分と差を分ける

練習問題と発展

紙に図をかき、「共通する分」「残り」「1つあたりの差」を書き込んでみましょう。

1. ガム1こ60円、チョコ1こ90円。合わせて15こで1110円。チョコは何こ？
2. 50円玉と100円玉が合わせて20枚で1450円。100円玉は何枚？
3. プリン1こ90円、ケーキ1こ150円。合わせて12こで1500円。プリンは何こ？
4. きじ（足2本）とうさぎ（足4本）が、頭8・足22本のかごにいます。きじは何羽？ 全部うさぎから考えてみましょう。

練習問題の解答（答えまで書いてあります）

1. 全部ガムなら900円。残り210円を差の30円でわり、チョコ7こ、ガム8こ。確かめ：90×7＋60×8＝1110。
2. 全部50円玉なら1000円。残り450円を差の50円でわり、100円玉9枚、50円玉11枚。確かめ：100×9＋50×11＝1450。
3. 全部ケーキなら1800円。欠けた300円を差の60円でわり、プリン5こ、ケーキ7こ。確かめ：90×5＋150×7＝1500。全部プリンから始めると、はみ出す列はケーキの数です。問われた方を読み直します。
4. 全部うさぎなら32本。欠けた10本を差の2本でわり、きじ5羽、うさぎ3びき。確かめ：2×5＋4×3＝22。

発展問題：じゃんけんで階段を動く

勝つと3段上がり、負けると1段下がります。あいこを数えず20回行い、スタートより36段上にいました。勝ったのは何回でしょうか。

発展問題の解答（答えまで書いてあります）

全部勝ちなら3×20＝60段で、24段多くなります。勝ちを負けに替えると、上がるはずの3段がなくなり、さらに1段下がるので、差は4段。24÷4＝6回が負け、勝ちは14回です。確かめ：3×14−6＝36。「全部同じ」からの変化を見る考えは共通しています。

保護者・先生へ：答えを言う前の手助け

行き詰まったら、順に「どの動物にもある足は何本？」「残りはどちらに置ける？」「上に足すのは1列に何こ？」と、一度に1つだけ尋ねてください。図を指して説明できた所や、考え直した所を聞き、速さを評価の中心にしません。

予想を直している子には、1ひき替えたときの差を聞きます。面積図でうまく考えられた子には、果物でも上の高さが差になる理由を尋ねてみてください。

使うのは、かけ算・ひき算・わり算と、長方形を分けて見る考えです。日本の学習指導要領では、長方形の面積は第4学年の内容です。まだ習っていなければ、積み木を数えて進められます。「小学4年生・上級」はこのシリーズの目安です。

よくある問い

つるかめ算の面積図では、縦と横は何を表しますか？

縦は1つあたりの足の数や値段、横は動物や品物の数です。この図の面積は、積み木や10円玉の合計を表します。図に単位を書き、横の1列が何に当たるかも確かめましょう。

なぜ、残りをうさぎの足の本数でわらないのですか？

下の長方形に、うさぎの足も共通する分を入れているからです。残りはそこから増える分なので、わる数は足の本数の差です。買い物でも、共通する代金を引いた後は値段の差を使います。

図で求めた数を、そのまま答えてよいですか？

まず、その横幅がどちらの数かを読みます。少ない方でそろえた図のはみ出しは、多い方の数です。多い方でそろえた図の欠けは、少ない方の数です。問題が尋ねる方と一致しているかを確かめて答えます。

Web教材「なぞのかご」で動かして見る

Web教材「なぞのかご」を開く。回のページでは「試す」の欄からも使えます。

「小さいかごで ためす」で動物をタップして入れ替え、「うさぎを右にまとめる」を押すと、共通する分と、はみ出した分を見比べられます。大きいかごでは、ヒントを順に開き、自分で残りを積んでみてください。

その後は「ほかのなぞ」の買い物問題へ。「チャレンジ」では安い方の数を尋ねるので、図で出た数を読み直す練習になります。「なぞをつくる」では頭と足の数を決め、作れるかごかどうかも試せます。